勾股定理的发现是人类数学史上非常重要的一步，具有划时代的意义，这也大大的激发了人们想去证明它的动力。历史上有好多名人都在这里留下过他们的智慧，这其中就有伟大的艺术家达芬奇，美国总统加菲尔德等……据统计，现在大概有500多种证明勾股定理的方法。本期，我将分享五种比较经典常见的证明方法给到大家，希望能激发大家学习数学的动力。我非常期待各位小朋友将来也能想到一种自己的证明方法，要是真能在勾股定理中也留下一点和你们相关的印记，那将是人生非常美好的事情。

正文部分

什么是勾股定理？勾股定理指的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。详见如下：

勾股定理逆定理

勾股逆定理指的是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角。

常见的勾股数

大家最熟悉的勾股数一定是那句耳熟能详的"勾三股四弦五"。这其中“勾”指的是较短的那条直角边，“股”指的是较长的那条直角边，“弦”指的是斜边。除了“3，4，5”这组勾股数，常见的还有“5,12,13”、“8,15,17（八月十五一家亲）”、“7、24、25”等勾股数，这些勾股数大家也要记好，可以在计算中帮助大家大大的节省时间。

勾股定理虽然只有一句话，一个图，但却有着非常迷人的魅力，让古往今来一个又一个数学爱好者为之如痴如醉，灵感爆发，诞生了很多种既美妙又有趣的证明方法，下面我们来看其中的5种经典的证明方法。

01

外弦图

首先来介绍一种我国古代三国时期数学家赵爽的证明方法——外弦图。毕竟我们是一个非常擅长数学而且喜欢数学的民族，所以这个证明方法自然要放在第一位。另外下面这幅赵爽弦图曾经是第24届国际数学家大会的会标！

02

内弦图

介绍完了外弦图，我们来介绍它的“兄弟”证法——内弦图的证明方法。内弦图证明的核心思想也是一样对大正方形的面积算两次。

03

总统证法

麒麟芯片是国产吗（麒麟芯片原来还不是国产的）今天去买手机的时候，问起华为手机的麒麟芯片，店家说，麒麟其实不是国产的芯片，这下真把我震惊到了。于是，我还特意百度了一下，华为麒麟芯片还真不是纯国货，他的核心架构来自于ARM的授权，华为重新设计架构以及通信基带、台积电量产生产。以最新的麒麟970处理器为例

美国总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，他用两个一样的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了如下的一个直角梯形，通过对直角梯形的面积算两次也证明了勾股定理。这种方法的本质其实就是半个内弦图。

04

《几何原本》证法

欧几里得在《几何原本》里也有对勾股定理进行过证明，用到的主要是分割法和等积变形。核心思想是把大正方形的面积分成了两个小长方形，让它们分别等于两个小正方形的面积。

05

优秀的证法

这是一种非常优秀的证法，也是笔者最喜欢的证法。相传发现这种方法的人只是画了下面两个图，然后很潇洒地告诉周围人：“瞧，勾股定理证明出来了”。

第1期题目解析

公号第2期《第2期——带你搞定牛吃草问题》里和大家分享了一道牛吃草问题和一个看图猜成语，不知道小朋友们有没有去做一下哈，现在这里给出我写的一个解析，大家可以对照一下有没有做对和猜对哈。

牛吃草问题
有一片草地，草每天都会匀速增长，已知这片草地上的草可以供6头牛吃10天，可供4头牛吃20天，如果想5天吃完，需要________头牛。

看图猜成语

黄粱美梦

写在后面的话

本期到这里就要结束了，最后给大家分享一道与勾股定理的问题给大家来练练手，另外还有一道看图猜成语的题目，大家有时间可以自己或者让小朋友来尝试做一下。

欢迎大家也来关注我的微信公众号“张海咚咚咚课堂”和“海咚咚课堂”，微信搜索即可关注，里面还有更多精彩知识等着大家哈！

勾股定理相关题（有一些难度）

看图猜成语

勾股定理又称为毕达哥拉斯定理,它属于初中的几何知识,证明方法一般初中的方法比较常见,但是有一些方法大家可以了解一下,这些证明还是非常有趣的.

1.这算不算,我觉得挺有趣,但并不严谨,但无疑它有助于我们理解勾股定理.

3.我觉得最快捷的方法还是把余弦定理中的那个夹角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它还是要用到几何知识的.

4.美国总统证法,利用面积可以证到.

5古代的拼图证法

6毕达哥拉斯拼图证法

我倒是觉得几何法证明勾股定理比较流行,几乎都有几何的影子,片面追求非几何的证明方法并不可取.我是学霸数学,欢迎关注!

从周公和高祖的对话来看。我认为那是一个很好的证明。谢谢组织的遨请！

勾股定理的证明方法有成千上万种，只有你没想到的，没有想不到的

最古老的证明

我先讲讲我们古人证明的一个勾股特例，即勾三股四玄五，《周髀算经》提到早在西周时期，就有的一个算法，如下图

虽然证明过程比较粗糙，但是毕竟成图于西周时期啊！不得不佩服，而且书中写的是，周公向商高请教数学知识，商高告诉他这样的证明，说完后还来句暴击，说这个在大禹治水的时候就这么证明了。

赵爽玄图证明

后来中国数学家赵爽对这个图进行了一般性的证明

图中斜着放的一个正方形，是以斜边C为边长的，同时这个大正方形是由4个三角形和1个中间的正方形组成的

中间正方形的面积是（B-A）*(B-A)

从面积上来说C^2=4*(1/2)*A*B+（B-A）*(B-A)

化简右边得到

C^2=A^2+B^2,得证

码字不易，渴望得到个赞

在一个大正方形里面套了一个小正方形，四个角上的小三角形正好是一个直角三角形，两直角边分别是a和b，斜边边长是c。所以，大正方形的边长是a+b，小正方形的边长是c。则:

大正方形的面积S大=(a+b)2，小正方形的面积S小=C2，角上的三角形面S=1/2ab，根据面积关系，小正方形面积等于大正方形的面积减去四个小三角形面积。还是看图吧

由此得证。

好吧，你既然非要不常规的，非初等的。那我炫技一把，满足你的（变态）需求。

首先，勾股定理等价于证明cos²x+sin²x=1。

然后，根据欧拉公式e^ix=cosx+isinx，

有：

cos²x+sin²x

= （cosx+isinx）（cosx-isinx）

= e^ix * e^-ix

= e^0

= 1

证毕。

注意欧拉公式本身的证明可以不依赖几何，纯粹从微积分入手，所以上述证明可以被视作勾股定理原生的非几何证法。

按我们木工在做工的实践中又有个笨定理:就是方5斜71。也就是说一个5倍数的正方形对角线必须是71。不信你试试？

勾股定理的证明方法很多，不乏让人觉得神奇的方法。下面介绍一种方法，这种方法是网上偶然看到一个印度三哥讲的。

已知一个正方形ABCD，边长为a＋b，正方形ABCD各边各取一个点O、P、E、G，构成一个四边形OPEG。已知，BO=AP=DE=CG=a，OA=PD=EC=GB=b如图所示：

很容易可以得出，四边形OPEG也是正方形，设正方形OPEG边长为c。

那么，正方形OPEG的面积等于正方形ABCD的面积减去4个直角三角形的面积。

即：c²=(a＋b)²－4×½ab

展开后得到，c²=a²＋b²

所以，直角三角形中，两直角边的平方和等于该直角三角形斜边的平方。

勾股定理得证。

老木匠教徒弟，就是345，对了就是直角，没有任何理论。

这个问题是一个“文化”的问题，345来源于万年之前的中华玄学的《象数学》之文，所谓勾三是玄学天地人之文，四是九宫，五是河图十字五行……生成道“化”玄的理论。这个“原理”成就了今天唯物的勾股定理，仔细想想：今天论证的勾股定理是不是仅仅在论线条组成的“形”，为了论证这个“形”，是不是又画出了与这个形有关联的“形”，前者唯物，后者则唯心了，唯心就是意识形态，意识形态包括“象数学”理论，故“神奇”来源于“万年之前”的中华象数学理论。万理从零开始。

回复留言即可加入微信群，创始人邹老师将会在群组中亲自解答关于数学学习或教育等困惑，每天分享高效、深刻的数学解题方法以及先进的教学理念！

各位家长、老师和孩子们如果有兴趣加入一同探讨更多关于数学学习与教育等问题，可以私信进群！

更多精彩内容，请关注微信订阅号：sbsxgz。

邹老师

中国教育家协会理事；全国数学优秀教师、特级教师的培训导师；青少年成功学习的智慧导师，中国素质教育与应试教育完美结合的创造者！

他创立的“本质理论”，让人聪明一辈子，从根本上解决学生的思维问题；

他研发的《一通百通数学教学法》，让学生做通一题通一片题，从根本上解决学习问题；在减负下轻松考高分。他让成绩差的学生，成绩普通的学生在3年内成为中高考第一；

他发明的“深本教育法”，让家长充满智慧，从根本上解决孩子的教育问题。

更多精彩内容，请关注微信订阅号：sbsxgz。