这是一个分母连续不断，无穷无尽的分数，称为连分数。表示根号2的这个连分数很有规律：

不是1就是2，1总是在分数线以上，2总是在分数线前面。

为了简便，上面的等式可以写成：

两种记法都可以。推广到一般情况就是：

现在我们来证明这个无限连分数等于根号2。

证明完毕。

现在我们来看如何计算连分数。

有两种方法。

①从后往前算。

推广到一般情况就是：

举个例子:

再举个例子

洗牙要多少钱(为什么洗牙后脏得更快)口腔问题的增多，也让很多人开始重视口腔健康，从口腔保健医院的增多，就能发现大家对于口腔保健，逐渐地起来。以前，生活条件比较差，别说口腔保健了，就连基本的口腔清洁都做不到，也就会导致很多人在年纪大了以后，容易出现相关口腔问题。其实，从现代很多

②从前往后算

分母和分子的递推公式如下图：

举个例子：

不仅根号2可以表示为连分数，另外一些无理数也可以表示为连分数的形式。

再看两个具有代表性的题目：

再看下一道例题：

以上介绍了连分数的一个应用——表示某些无理数。连分数的内容非常丰富，它和高等数学里的级数有着密切关系，但是限于篇幅，就到此打住。

请看今天的家庭作业：

答案如下：

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

你这根本就不是一个数学问题，而是一个哲学问题。如果是一个严格意义的数学问题，那么根号2的平方肯定就等于二。你这个问题，是没有搞清楚语言文字和客观现实的区别。你所说的根号二，只存在于语言文字上。玻璃瓶子碎了，那是客观现实。比如说，给你一个苹果，设定它的单位是二。亲爱的，你把它给我切个根号二出来吧。所以说，不能把语言文字和客观现实混淆。

谢邀！

首先简单来说，√2这个符号表示的就是平方之后等于2的那个数。不管它写出来是啥样，也不管它写不写得完，反正它表示的就是平方之后等于2的那个数，所以它平方之后一定严格等于2。(有点绕嘴，但事实就是这样)

我觉得你的问题是1.414…的平方是否等于2，而不是√2的平方是否等于2。问题的关键在于，√2是否是就等于1.414…，而关于无理数，或者说无限不循环小数的定义，是一个非常复杂的问题。

现在通行的定义无理数的方法是戴德金分割法(Dedekind cut)。这个方法的定义非常复杂，包含的思想也极其深刻

这里我不打算详细介绍这个方法，如果介绍的话可能要写好长好长，具体的话可以参考相应的教材。我在这里只是写一个比较简单的版本：

首先，1.414…的平方，我们是无法算清的，因为它是一个无限不循环小数。但是1.4²，1.41²，1.414²，这些数都是很好算的，因为它们都是有限小数，平方很容易计算，所以我们的一个核心思想就是想用有限小数来逼近无限不循环小数。

首先来构造一个集合：由所有平方之后小于2的有理数构成的集合

这个集合显然是有上界的，因为1.5就是它的一个上界，同样1.6，1.7，2，3，4等等都是它的上界。可以想象它的上界有无数多个，那么在这无数多个上界里，就有一个最小的上界(这里需要使用实数的完备性定理)。我们把这个最小的上界记为a，下面来说明，a其实就是√2，即a²=2。我们采用反证法：

于是我们就用一个符号√2来表示a，这样便解答了你的问题。

这样的问题不要憋这么长时间再问，当你有数理逻辑定义权了以后!你说等于几就等于几，这些已经不影响社会的文明进步了！弄点新题目，1+3等于几的题目，也有时代意义哈！

根号2的平方就等于2。用不着考虑开平方所得的无限不循小数问题。

这个问题类似于

0.999999999......＝1

1/3＝0.33333......

1＝1/3×3＝0.999999......

√2= 1.4142135623731 ……

√2 是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代，人们就发现了这种奇怪的数，这推翻了古希腊数学中的基本假设，直接导致了第一次数学危机。

根号二一定是介于1与2之间的数。

然后再计算1.5的平方大小……也就是一个用二分法求方程x^2=2近似解的过程。

扩展资料

现代，我们都习以为常地使用根号(如 等)，并感到它来既简洁又方便。那么，根号是怎样产生和演变成这种样子的呢?

古时候，埃及人用记号"┌"表示平方根。印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前后，德国人用一个点"."来表示平方根，两点".."表示4次方根，三个点"..."表示立方根，比如，.3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成" √￣"。

1525年，路多尔夫在他的代数着作中，首先采用了根号，比如他写是2，是3，并用表示，但是这种写法未得到普遍的认可与采纳。

直到十七世纪，法国数学家笛卡尔(1596-1650年)第一个使用了现今用的根号"√"。在一本书中，笛卡尔写道:"如果想求n的平方根，就写作±√n，如果想求n的立方根，则写作³√n。

原式=（根号2）^2

=根号4

=2

也许人类所做的一切努力，终了都是白费的，就象二次根号2的平方，之间，人类穷尽思维，最终，打回原形。

严格的等于2，这个是毋庸置疑的。首先要弄清楚一个概念：无理数是一个确定的数，而非一个不确定的数。一个确定的数经过数学运算，得到的数也是一个定数。

我们说无理数是因为它们无法用一个准确的数，或数字规律去表示它。勾股定理被证明是正确的。我们就可以用形去准确的表示根号2，它就是一个边长为1的正方形的对角线的长度。这是一个准确的形体。

那是什么造成我们无法准确的用一个定数去表示它呢？是因为我们数学上基本量纲造成的！如果我们不以1为数的基本量纲而以根号2为数的基本量纲，计数还是按照有理数的计数方式，那么所有为根号2倍数的数都变成可以用准确的有理数计数方式表示出来的，因为这些数除以数的基本量纲根号2都是一个有理数！而我们通常的有理数除以根号2，这个重新规定的数的基本量纲根号2，却无法用一个准确的有理数来表示了。

其实数的基本量纲的选取和计数方式，决定了谁是无理数，谁是有理数。我们通常默认的数的基本量纲就是1。而选取不同数的基本量纲和不同的计数方式，数的有理，无理就是相对的。

一定要清楚这一点，无理数是一个准确的数，是我们数的基本量纲和计数方式共同造成它是个无法准确的用一个数或准确的数字规律去表示它而已！

这个问题问得有意思，但你是否真的知道根号二是怎么来的？为什么不能严格等于二？

根号二的平方等于二，这是不需要证明就可以得到答案的，自己可以回去看看数学书就知道的，这是从根号的定义可以得到。这与它是否是无理数无关，你也不要扯什么近似值进行计算，最后得到答案它应该是：“近似等于二而不是等于二”的结论。

√2的平方，包括±√2的平方均等于2。二个特定的相同的无理数的积，会变成一个整数(有理数)这无可置疑。拿1一10，十个自然数举例，其中除√1、√4、√9三个数为整数外，其余√2、√3、√5、√6、√7、√8、√10七个数均为无理数，但与同样的那个数相乘后的积，均变成有理数了。世上只有相对，没有绝对。在特定的条件下，两个无理数相乘的积，也会变成有理数，如：√2x√2=2、√3×√3=3，这並不奇怪。

这与玻璃打碎並不矛盾。玻璃打碎是玻璃受外力后造成分子结构链断裂，但只要把碎玻璃重新融化，按原来的工艺，仍能加工还原出与原来一样的整块玻璃。冰也是这样，打碎后将碎冰块化成水，让水重新也能结成与原来一样的一块冰。

记得从前读书的时候，形容一个人的身高，对于身高不高的人，最委婉的说法就是谁谁谁是“根号2”。

“根号2”约等于1.414，是一个“无理数”，这个大家都知道，但是很少有人知道第一个发现“无理数”的人，却因为发现了“无理数”而丧命。

初中生都学过“毕达哥拉斯定理”，也就是“勾股定理”，它的发现者是古希腊学者毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，他最先提出了“凡物皆数”，认为数学不仅是数学，还可以用数的观点去解释世界：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，数的秩序就是世界的秩序。

毕达哥拉斯的门徒及其追随者被称为“毕达哥拉斯学派”，学派的成员经常一起开学术讨论会。

一次在学派成员的讨论会上，一个年轻的学者，对毕达哥拉斯的理论提出了异议：按照毕达哥拉斯的理论，世界上一切的东西都可以用数来相互准确的表达，任何的东西都可以得到一个精确的数字，但是如果有一个东西，无法被整除，得不到准确的数字，除之不尽，又不能循环，那又怎么办？比如等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确的测量出斜边来。

这个世界上第一个发现无理数的学者叫希帕索斯。

希帕索斯的说法一提出来，立马受到了学派其他成员的反对：不可能！毕达哥拉斯先生的理论，怎么可能会错？如果无理数真的存在，那“毕达哥拉斯学派”一直以来信奉的世界任何事物都可以用数来表示的信条岂非就成了悖论？

为了捍卫“毕达哥拉斯学派”的理论基石，这群成员在激愤之下，直接把希帕索斯扔进了海里。

可怜希帕索斯年纪轻轻的一代英才，就此殒命。

希帕索斯并非唯一一个因为科学而死的人，在他之后还有因为提出光是由七色组成而被永远监禁，死在监狱的罗杰培根，捍卫和发展哥白尼“太阳中心说”被烧死的布鲁诺等等。

有句话叫“真理往往掌握在少数人手中”，而掌握真理的少数人，往往是斗不过不掌握真理的大多数野蛮人的。因此，每一个颠覆人们日常想象的理论的发现，往往都会伴随着流血跟牺牲，也正是有了这些伟大人物的牺牲，才有了今天科技的飞速发展。只是这些杰出的数学家如果不那么早死，他们的学术成果不被打压隐藏那么长时间，早日公诸于世，兴许现在时代会进步更快一些。

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