1.按按计算器就知道了，比如：√2=2^0.5=
1.4142135623730950488016887242097……；

2.是不是要介绍“手算开平方”？实在抱歉，曾经的我也不是个十分专心的学生，竟是忘了。当然，百度一下，再度钻研贴文也是可以的，不过兴趣待定。

其实，本文想说的还就是和想法1有关。您有没有想过：计算器又是怎样计算的呢？

我不确定计算器背后的算法一定是什么，但我确定的知道一种比较可行的方法：利用迭代函数迭代计算n次方根。今天就先来看看“二次方根”或“平方根”的计算方法。

二次方根迭代函数如下：

f(x)=x/2+C/(2*x)

其中：

x^2=C

或

C^0.5=x

即：函数中的C是被开方数，x是求解目标“二次方根”。

（备注：呃，请不要问我这个迭代函数是怎么来的，据说和“泰勒级数”有关，这得从“数学分析”中寻找答案，汗……）

什么是“迭代”？

①猜测一个初始值x0，比如：x0=1（不会猜，就选1）；

②计算函数值x1，其中：x1=f(x0)，即把x0代入迭代函数求值；

③迭代：x0=x1；

④反复循环②③两步直至符合指定的精度要求。

可见：迭代就是把上一次输出的结果作为下一次输入的结果并反复执行。

这样做神奇吗？来让我们试试。

例1.求根号2的值。

①x0=1

②x1= x/2+C/(2*x)=1/2+2/(2*1)=1.5

③x0=x1=1.5

④x1= x/2+C/(2*x)=1.5/2+2/(2*1.5)≈1.416666667

⑤x0=x1=1.416666667

⑥x1= x/2+C/(2*x)=1.416666667/2+2/(2*1.416666667)≈1.414215686

⑦x0=x1=1.414215686

正月初一的习俗（大年初一的风俗）春节，是农历年的岁首，起于西汉延续至今。传统意义的春节是从腊月初八的腊祭或腊月二十三的祭灶，到正月十五，其中以除夕和正月初一最受重视。初一的风俗如下：1、开门炮仗初一晨，开门第一件事，燃放爆竹，取义开门开门见喜，谓之“开门炮仗”。爆竹声后，碎红满地，灿若云锦，称为“满

⑧x1= x/2+C/(2*x)=1.414215686/2+2/(2*1.414215686)≈1.414213562

⑨……

只需迭代4次就可以得到9位小数精度，足够应付很多计算需要了。

例2.求1234567的平方根。

呵呵，手算基本是不可能的，小数位数多，会让人抓狂的，下面是电子表格计算的数据，供参考：

第1次 1

第2次 617284

第3次 308643

第4次 154323.5

第5次 77165.74993

第6次 38590.87441

第7次 19311.43279

第8次 9687.68106

第9次 4907.558926

第10次 2579.561651

第11次 1529.078654

第12次 1168.235696

第13次 1112.507369

第14次 1111.111582

第15次 1111.110706

……

迭代了15次后，达到了一般稳定精度要求。不过，如果初始值不是1，而是与准确值更接近一些，比如1000，则迭代次数会大幅下降，如下：

第1次 1000

第2次 1117.2835

第3次 1111.127757

第4次 1111.110706

……

仅需4次。初值的选择是很重要的，好的初值估计，算是核心技术。

本文算是帮您打开了一扇门，但同时，您会发现更多关上的门，比如：三次方根呢？四次、五次、小数次、无理数次……方根呢？比如：被开方数是小数、负数、无理数……呢？呵呵，这会让我们头很大的。

1、从个位向左和向右每2位数分一节，左边是整数右边悬小数，最左和最右一节可能是2位也可能是1位数。整数部分和小数部分各分出几节说明平方根就有几位整数和小数。

2、求出最高（左边第一节）节位平方根（整数），余数连接下一节2位数作为下一组的被除数。｜

3、用求出的平方根×20

后试除被除数，能商几就用被除数 --（平方根×20+商）x商。这个商就是所求平方根的第2位数。

4、同上：将第二次的余数连接下一节2位数作为新的被除数。

5、将前面已有两位数组成的平方根×20后试除新的被除数，能商几就用：（前两位平方根×20+商）×商。这个商就是所求平方根的第3位数。

6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。通过试商，如果发商大或商小了就减小或增大数字就行了。总之求出的平方根必须与题目相符。

例：1

求465124的平方根

解：

分节为：46 ’ 51 ’ 24

46的平方根（整数部分）是6

6×6＝36

46-36＝10

1000+51=1051

6×20＝120

1051÷120最多能商8

1051 -（6×20+8）×8

＝1051-1024=27

2700+24=2724

68×20＝1360

2724÷1360最多可以商2

（68×20＋2）×2

＝2724

2724--2724＝0

600+80+2=682

465124的平方根是682

例：2

求15625的平方根

解：

分节为：1 ’ 56 ’ 25

1的平方根是1

1×1＝1

1×20＝20

56÷20最多能商2

56 --（1×20+2）×2

＝56--44=12

1200+25+1225

12×20＝240

1225÷240最多可以商5

（12×20＋5）×5

＝1225

1225--1225＝0

100+20+5＝125

15625的平方根是125