李冶，1192年出生在真定栾城，原名李治，与唐高宗的名字相同，但那个时代，平民和古代帝王同名是很不妥当的，于是李治就将自己的名字减去了一个点，改名叫李冶。

李冶的父亲李通是大兴府的推官，是位博学多才的学者，为人正直，又十分好学。受父亲的影响，李冶从小就非常喜爱读书，认为学问比财富更可贵，父亲曾经对他说过，“积财千万，不如薄技在身”，李冶将这句话牢记在心，作为自己的座右铭。

李冶在青少年时期，对数学、文学都很感兴趣，文章也写得好，曾经在一个晚上完成了好几篇墓志铭，字迹清秀、文笔流畅、用词得体，几乎挑不出一点毛病，因此被乡亲们称为神童。

李冶出生的时候，金朝正由盛而衰，蒙古军队加紧向金朝进攻，腐朽的金朝内已潜伏着亡国的危机。1232年，蒙古入侵中原，此时李冶已经高中进士，在钧州当官，钧州城被蒙古军队攻破后。李冶不愿投降，换上平民服装，北渡黄河避难。

1234年初，金朝被蒙古所灭，李冶感到政事已无可为，于是潜心学问，定居于山西崞县的桐川。这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯由此开始。他在桐川的工作条件十分艰苦，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波，但他却不以为意，从不间断自己的研究工作。

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在各种学问中，李冶最感兴趣的还是数学。当时，数学排在六艺的最末位，被读书人视作“贱技”，不值得研究，李冶却认为数学是在生产和生活中最实用的技术，潜心研究数学数十年。

李冶在桐川进行的数学研究，是以天元术为主攻方向的。天元术，指的是用数学符号来列方程。

天元术并非李冶首创，早在汉代的《九章算术》书中，就已经有关于用文字叙述的方法建立二次方程的记载，但没有明确的未知数概念。到唐代，人们已经能列出三次方程，但仍然是用文字叙述的，并未掌握列方程的一般方法。北宋年间，造纸术与印刷术的突飞猛进，为数学发展创造了条件，贾宪、刘益等人，解决了求高次方程正根的问题。

随着数学问题日益复杂，人们迫切需要一种更普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了。

但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐，比如李冶在山东东平得到的一本讲天元术的算书，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂。

当时北方出了不少算书，包括《铃经》、《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等，特别值得一提的是《洞渊算书》，书中讲了不少求直角三角形内切圆、外切圆、旁切圆直径的方法。

李冶受此启发，把勾股容圆问题作为一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，写成《测圆海镜》十二卷，这是他一生中的最大成就。只可惜，李冶在生前未能看到这部作品出版，直到李冶死后三年，《测圆海镜》才终于出版。

以前，人们认为方程的常数项是表示面积、体积等几何量的，因此只能为正，而李冶认识到常数可以有纯代数意义。

他在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。他用“天元一”来代表未知数，“立天元一为某某”，这就相当于今天的“设x为某某”。

从此，二次方不必代表面积，三次方也不代表体积，常数项可正可负，困扰中国数学1000多年的任意n次代数方程的表达就变得非常容易了。

李冶还引进记号○来代替空位，使得传统的十进制有了完整的数字体系，又发明了负号和一套相当简便的小数记法，为数学计算提供了方便，促进了数学发展。

李冶在桐川潜心研究数十年，除了在数学方面做出了巨大贡献外，同时也是一位著名的文学家，与好友元好问并称“元李”。文风严谨，认为写文章应当立足实际，但也要善于联想，不应当穿凿附会，无中生有。

李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光辉灿烂的一页，哪怕李冶去世了，他对数学的贡献却还在继续，后世的数学家吸收了李冶的天元术，经二元术、三元术，发展为四元术，解决了四元高次方程组的建立和求解问题，这些代数成就达到了当时世界上的最高水平。

03、

说完了李冶，我们来说说宋元时代最大的数学家——朱世杰。

由于朱世杰没有做过官，所以我们对他的身世并不十分了解，只知道他出生在北京附近，自幼聪明好学，尤其喜爱算术，不到十岁时，就能熟练运用算筹进行四则运算。稍大一些，他便拜师学习，常把父母给的零用钱积攒起来，购买各种算书。

朱世杰处于中国传统数学发展的鼎盛时期，当时，南、北方数学全面繁荣发展，南方以秦九韶、杨辉为代表，在高次方程解法、同余式组解法方面取得巨大成就。北方则以研究天元术为主，出现了天元术大师李冶。但由于南北对峙，南北之间的学术交往几乎是断绝的，南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。

年轻的朱世杰很难读到南方的数学书，因此只能搜集北方各家的算书，认真钻研，进行比较，他特别推崇李冶的《测圆海镜》，将这本书称为“第一奇书”。到13世纪70年代，他已经和李冶一样，成为北方的数学名家了。不少人远道而来，拜朱世杰为师，向他学习数学。

1729年，南宋灭亡，元统一中国，朱世杰以数学家的身份周游各地20余年，全面继承了前人的数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成了被称为“算家之总要”和“次第最为谨严”的《算学启蒙》，以及代表宋元数学最高成就的《四元玉鉴》。

《算学启蒙》是一部通俗数学名著，从一位数乘法开始，由浅入深，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，形成一个完整的体系。书中明确提出正负数乘法法则，给出倒数的概念和基本性质，概括出若干新的乘法公式和根式运算法则，总结了若干乘除捷算口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组。《算学启蒙》出版后不久，就流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。

《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，受到近代数学史研究者的高度评价，被认为是中国古代数学科学著作中最重要、最有贡献的一部数学名著。

其中最杰出的数学创作有四元术、垛积法与招差术。

四元术指的是四元高次方程组的建立和求解方法，是天元术的推广，以天、地、人、物四元表示四元高次方程组，将多元高次方程组依次消元，最后只余下一个未知数，从而解决整个方程组。早于法国数学家别朱于1775年才系统提出的消元法近五百年，领先于世界，是我国数学史上的光辉成就之一。

垛积术指的是高阶等差数列求和，朱世杰在杨辉的基础上依次研究了二阶、三阶、四阶和五阶等差级数求和问题，从而发现规律，得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。利用朱世杰的公式，不管是几阶的等差级数，都可以很容易地求出和来。这是级数理论的一大突破。

朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近4个世纪。

04、

朱世杰不仅是一名杰出的数学家，还是一位数学教育家，曾周游四方各地，学子众多，桃李满天下。

朱世杰全面地继承了李冶、秦九韶、杨辉等各大数学家的成就，加以创造性地发展，取得了与他同时代的人无可比拟的杰出成就。朱世杰的《四元玉鉴》不仅是宋元数学的代表，更是世界古代数学宝库中不可多得的珍品。

美国已故的著名科学史家萨顿这样评价朱世杰：“朱世杰是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。”“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝。”

朱世杰的命运比李冶好，他不仅看到了他为之呕心沥血的《算学启蒙》和《四元玉鉴》的出版，还看到了读者争相买书的盛况。不管是社会名流，还是年轻学子，都为他的思想深刻及敏捷所倾倒。

如果把诸多数学家比作群山，朱世杰就是最高大、最雄伟的那座山峰，站在他的高度俯瞰传统数学，会产生“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉。

可惜的是，元中叶之后，中国数学急剧衰落，《四元玉鉴》之后，元朝再无高深的数学著作出现，元末的几部著作只是对乘除捷算法有所改进。

到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展，《几何原本》等西方典籍也传入了中国，但八股取士以及文字狱的兴起，人们的思想被严重禁锢，学者们很少留心数学，导致明朝的数学水平远低于宋元，明代数学大家，竟然看不懂天元术和增乘开方法。汉唐宋元的数学著作不仅没有新的刻本，反而大多失传。

直到清朝后期，才出了一个李善兰，他是近代科学的先驱人物和传播者，但当时的中国数学已经远远落后于西方，仅凭李善兰一人之力根本追赶不上。

维新变法和新文化运动之后，中国古代数学传统基本中断，中国数学研究纳入了统一的现代数学。

20世纪，中国数学开始复兴，我们都期待着，中国能够重新取得数学大国的地位。

参考资料：

管成学、赵骥民，《中国数学史上最光辉的篇章：李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰的故事》，吉林科学技术出版社

郭书春古代数学：商务印书馆，1997-04

百度词条“李冶”

百度词条“四元术”

百度词条“朱世杰”

宋元时代，中国的科学技术水平达到极盛，与同时期世界其它国家相比居于领先地位。

英国科技史专家李约瑟指出，1500年是一个分水岭，在此之前，中国的科学水平不是欧洲能比的，在此之后，欧洲超过了中国。

在科学诸多门类中，数学占有重要地位。在以前历代数学发展的基础上，南宋以及元代，中国的数学研究放射出绚烂的光芒。

宋元时代，著名的数学“四大家”，即秦九韶、朱世杰、李冶、杨辉，他们在数学研究、教学及实际应用方面，均取得了显著成绩。

当时有一些读书人，可能由于对求取功名丧失了信心，于是改变方向，转而开始对科学和应用技术的研究。这些人已经截然不同于以往那些攻读四书五经的旧式读书人，他们在自然科学领域打开了一片新天地。

宋元时期，研究数学的人多集中在河北一带，他们不仅自己钻研，而且开门授业，教授弟子，传播数学知识。

宋元数学“四大家”都取得了骄人业绩。秦九韶的著作《数书九章》（1247年），记有高次方程的数值解法和联立一次同余式解法。十三世纪中叶和末叶李冶和朱世杰发表的著作，分别讨论一元和多元方程以及高次联立方程的消去法，叫做“天元术”和“四元术”。朱世杰则更进一步，将高阶等差级数的数法，发展为插值的招差值。朱世杰的发现，要比牛顿插值公式早了三百年。南宋的杨辉把北宋沈括首创的“隙积法”发挥为“垛积术”，即高阶等差级数求总和的方法。

杨辉还编纂了几部商用数算的书籍供商人使用，这在数学发展史上是前所未有的开创性的举措。

宋元时代的数学，与生产活动和商业活动有十分密切的关系，诸如在土地测量、粮食储存计算、土木工程中有十分广泛的应用。

他们除了撰写数学著作外，为了便于学习记忆，还编出许多计算歌谣，流传甚广。

珠算，是指用算盘计算。在数学发展的基础上，算盘应运而生。算盘大约出现在元代，时间粗略估计是在十四世纪初叶。算盘的使用使计算变得非常简洁，算盘出现后，数学的研究脚步放缓了。

除数学外，其它领域的科学技术在这个时期也都取得了令人瞩目的成就。

首先是天文学。天文学和数学关系密切。元代的郭守敬既是数学家又是天文学家，他制作的观测仪器有数十种之多，包括浑天仪、候极仪、立运仪、浑象、仰仪、高表、景符、窥几、正方案等等，在还没有望远镜的那个时代，郭守敬的仪器是当时世界上最精密的观测仪器了。

其次是纺织业。元代，中亚的金线毛织品技术传入中国，使得中国的织锦技术更加灿烂可观，产生了许多精品。黄道婆从海南黎族那里学会棉纺织技术，在江南推广，使得江南在丝织品之外又增加了棉织品，人们制作服装又多了一种原料。

再次是冶铁业。宋代冶炼钢铁的数量已居世界之冠，在此基础上元代又增加不少，忽必烈时代的冶铁量比北宋增加一倍，达到年产一千万斤。元代冶铁技术也提高不少，已经使用碎瓷和黏土建炼铁炉，这种炉子耐火度更高。另外，还能生产出“镔铁”，实际是一种高碳钢，可见技术已经达到很高程度。

第四是陶瓷业。宋代的钧窑，汝窑，龙泉窑长期以来都是生产外销的高档瓷器。中国生产的这种用高温烧制的瓷器，中亚和欧洲都制作不出来。元代从阿拉伯地区进口制作青花瓷的颜料，使中国人制作的青花瓷器更上了一个台阶，比以前用本地产的颜料制作出的产品颜色更靓丽，更清澈。中国除从阿拉伯地区进口颜料外，后来也从南洋进口青花瓷颜料。

阿拉伯也能制作青花瓷器，不过他们制作的青花瓷器和中国制造的不在一个档次，所以，他们还需要大量进口中国瓷器。中国制造了大量精美的青花瓷和其它瓷器，图案都是阿拉伯风格，就是专门为出口到中亚各国而生产的。

这个时期瓷器生产的另一个突破是，掌握了“釉下彩”技术。青花瓷是釉下彩，“釉里红”也是釉下彩，釉下彩比釉上彩在技术上更上一层楼。这些都是中国的独门绝技，中东和欧洲都仿制不来的。

第五，火药。宋代火药已经用于战场上。蒙古人进攻巴格达时就使用了装上火药的“铁瓶子”，这时类似于后来炸弹一种铁家伙。蒙古人在进攻襄阳时，用强力投掷器把装上火药的铁瓶子（“炸弹”）远距离投向对方阵地。投掷器来自阿拉伯，“炸弹”来自中国，这两种东西结合在一起，已经可以起到类似大炮的作用，在武器发展史上具有划时代的意义。蒙古人在宋代突火枪和火筒的基础上，制成火铳，这已经很接近步枪了。只是欧洲人后来居上，葡萄牙人发明了红衣大炮，功能远胜于火铳，直到此时中国人才开始落后于欧洲。